Respuesta al problema de la elipse

Como nadie pudo resolver el problema de la elipse entonces escribiré la respuesta.
Empezamos con dibujar la elipse

Como ya sabemos la elipse tiene 2 rectas tangentes con una misma pendiente y también dibujamos sus rectas perpendiculares.

Ahora dibujamos otro grupo de tangentes perpendiculares

Marcando los puntos de intersección obtenidos

Al parecer hemos obtenido una circunferencia

Ahora veremos que dicen las ecuaciones
Ya teniamos que las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse son $$y=\text{mx}\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$$ (1)
Para que tengamos una recta perpendicular necesitamos que tenga pendiente $$-\frac{1}{m}$$
Entonces su ecuación es $$y=-\frac{1}{m}x\pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2}$$
Acomodando nos queda $$y=\frac{-x\pm \sqrt{a^2+m^2b^2}}{m}$$ (2)
De (1) y de (2)
$$y-\text{mx}=\pm \sqrt{a^2 m^2+b^2}$$ (3)
$$\text{my}+x=\pm \sqrt{a^2+m^2b^2}$$ (4)
Elevando (3) y (4) al cuadrado
$$y^2-2\text{mxy}+m^2x^2=a^2 m^2+b^2$$ (5)
$$m^2y^2+2\text{mxy}+x^2=a^2+m^2b^2$$ (6)
Sumando (5) y (6)
$$y^2+m^2x^2+m^2y^2+x^2=a^2 m^2+b^2+a^2+m^2b^2$$ (7)
Factorizando
$$x^2\left(m^2+1\right)+y^2\left(m^2+1\right)=a^2\left(m^2+1\right)+b^2\left(m^2+1\right)$$
$$\left(m^2+1\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(m^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)$$
Como $$m^2+1\neq 0$$
$$x^2+y^2=a^2+b^2$$ (8)
Lo que dá una circunferencia con radio $$\sqrt{a^2+b^2}$$
A (8) se le llama círculo director