La garra del león (Parte 2)

El primero de los problemas propuesto por Bernoulli era determinar la braquistócrona (del griego brachistos, el más breve, y cronos, tiempo), lo que significa que trayectoria debe seguir un cuerpo que se mueve unicamente por la fuerza gravitatoria para que recorra la distancia de un punto A a un punto B en el menor tiempo posible. La respuesta es la cicloide.

Ahora encontraremos la ecuación de una cicloide

En la figura se observa el círculo que gira sobre la linea horizontal. Sea el punto $$P (x,y)$$ un punto arbitrario de la cicloide, $$C$$ es el centro de la circunferencia. Se traza una linea paralela al eje desde $$P $$ hasta $$D$$ y se marcan los puntos $$A$$ y $$B$$ que son los puntos $$P$$ y $$D$$ proyectados en el eje. $$a$$ es el radio de la circunferencia que genera la cicloide y $$\theta$$ es el ángulo que ha girado la circunferencia. 

Como la circunferencia gira desde el origen $$0$$ hasta $$B$$, 

$$\overline{\text{OB}}=\text{Arco} \overline{\text{PB}}$$

$$\text{Arco} \overline{\text{PB}}=\text{a$\theta $}$$

De la figura

$$x= \overline{\text{OA}}= \overline{\text{OB}}- \overline{\text{AB}}=\overline{\text{OB}}- \overline{\text{PD}}=\text{a$\theta $}-a \text{Sen}[\theta ]$$

$$y= \overline{\text{AP}}= \overline{\text{BD}}= \overline{\text{BC}}- \overline{\text{CD}}=a-a \text{Cos}[\theta ]$$

Esta es la ecuación paramétrica de la cicloide. donde cada $$2\pi$$ se genera un bucle. 

De la segunda ecuación.

$$\text{Cos}[\theta ]=\frac{a-y}{a}$$

$$\theta =\text{ArcCos}\left[\frac{a-y}{a}\right]$$

$$\text{Sen}[\theta ]=\sqrt{1-\text{Cos}^2[\theta ]}=\frac{\sqrt{2\text{ay}-y^2}}{a}$$

Sustituyendo en la primera ecuación

$$x=a \text{ArcCos}\left[\frac{a-y}{a}\right]-\sqrt{2\text{ay}-y^2}$$

Esta ecuación solo da la primera mitad de la cicloide. para graficar la segunda mitad se usa

$$x=2\pi -\left(a \text{ArcCos}\left[\frac{a-y}{a}\right]-\sqrt{2\text{ay}-y^2}\right)$$

 A continuación dejo unos videos de la braquistócrona y de la Tautócrona (que resulta también ser la cicloide) qué es cuando dos partículas soltadas en cualquier punto de la cicloide llegaran al punto central en el mismo tiempo.