Elipse

Aqui les dejo un problema de geometría analítica
Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto de intersección de dos rectas perpendiculares cualesquiera tangentes ambas a la elipse.
$$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$

Sugerencia. Primero encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes con pendiente $$m$$

Ayudaré con la sugerencia.


Proponemos la recta que queremos encontrar como $$y=\text{mx}+k$$
donde $$m$$ es la pendiente de la recta y $$k$$ es un parametro que debemos encontrar
Sustituimos en la ecuación de la elipse
$$b^2x^2+a^2(\text{mx}+k)^2=a^2b^2$$
Acomodando los términos
$$\left(b^2+a^2m^2\right)x^2+2a^2k \text{mx}+a^2k^2-a^2b^2=0$$
Para que se cumpla la tangencia, el discriminante debe ser 0
$$D=b^2-4\text{ac}=4a^4k^2m^2-4\left(b^2+a^2m^2\right)\left(a^2k^2-a^2b^2\right)=0$$
Desarrollando el producto
$$4a^4k^2m^2+4 a^2 b^4-4 a^2 b^2 k^2+4 a^4 b^2 m^2-4 a^4 k^2 m^2=0$$
Simplificando
$$4 a^2 b^4-4 a^2 b^2 k^2+4 a^4 b^2 m^2=0$$
Dividiendo todo entre $$4 a^2 b^2$$
$$b^2-k^2+a^2m^2=0$$
Despejando $$k$$
$$k^2=a^2m^2+b^2$$
$$k=\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$$
Así las ecuaciones de las tangentes con pendientes $$m$$ son
$$y=\text{mx}\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$$
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