Para todos los seguidores fieles del blog (una gran cantidad) que pensaron que ya lo había olvidado les traigo un nuevo problema
Determina el volumen generado cuando la elipse $$\frac{x^2}{9}+y^2=1$$ es rotada alrededor de la linea $$y=5$$
Al hacer girar la elipse alrededor de la linea $$y=5$$ obtenemos una figura parecida a una llanta
Para obtener el volumen usaremos el metodo de las arandelas (anillo)
donde el volumen que buscamos es $$V_{\text{arandela}}=V_{\text{mayor}}-V_{\text{menor}}$$
$$V_{\text{arandela}}= \pi R^2 dx - \pi r^2 dx= \pi \left(R^2-r^2 \right) dx$$
Entonces de nuestra elipse el radio mayor sería la distancia de la mitad de abajo de la elipse al eje de giro y el radio menor la distancia de la mitad superior de la elipse al eje de giro, es decir:
$$R=5+\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}$$
$$r=5-\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}$$
Asi
$$V_{\text{arandela}}= \pi \left[\left(5+\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\right)^2-\left(5-\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\right)^2\right]dx$$
Desarrollando
$$V_{\text{arandela}}= 20 \pi \sqrt{1-\frac{x^2}{9}}dx$$
Para encontrar todo el volumen tenemos que integrar para $$-3\leq x\leq 3$$, pero como nuestra elipse es simétrica integraremos para $$0\leq x\leq 3$$ y multiplicaremos por 2.
Entonces el volumen de la llanta es $$V=40\int _0^3 \sqrt{1-\frac{x^2}{9}}dx$$
Simplificando la fracción $$V=\frac{40}{3}\int _0^3 \sqrt{9-x^2}dx$$
Usando sustitución trigonométrica
$$x=3\text{Sen}[u]$$
$$dx=-3\text{Sen}[u]du$$
$$\sqrt{9-x^2}=3\text{Cos}[u]$$
Sustituyendo
$$V=120\int _0^3 \text{Cos}^2[u]du$$
Usando una identidad trigonométrica
$$\text{Cos}[2u]=\text{Cos}^2[u]-\text{Sen}^2[u]=\text{Cos}^2[u]-\left(1-\text{Cos}^2[u]\right)=2\text{Cos}^2[u]-1$$
Asi $$\text{Cos}^2[u]=\frac{\text{Cos}[2u]}{2}+\frac{1}{2}$$
$$V=60\int_0^3 \text{Cos}[2u] \, du+60\int _0^3du$$
Integrando
$$V=30\text{Sen}[2u]_{x=0}^3+60[u]_{x=0}^3$$
Como $$\text{Sen}[2u]=2\text{Sen}[u]\text{Cos}[u]$$ y $$u=\text{ArcSen}\left[\frac{x}{3}\right]$$
$$V=20\left[\frac{x\sqrt{9-x^2}}{9}\right]_{x=0}^3+60\left[\text{ArcSen}\left[\frac{x}{3}\right]\right]_{x=0}^3$$
$$V=60\text{ArcSen}[1]$$
Asi el volumen de nuestra llanta es $$V=30\pi $$
La respuesta es pi/6
ResponderEliminarjaja $$\frac{\pi }{6}$$
ResponderEliminarAsh no es cierto yo se que es pi/6 y no puedes decirme lo contrario jaja
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