Volumen

NUEVO PROBLEMA!!!
Para todos los seguidores fieles del blog (una gran cantidad) que pensaron que ya lo había olvidado les traigo un nuevo problema

Determina el volumen generado cuando la elipse $$\frac{x^2}{9}+y^2=1$$ es rotada alrededor de la linea $$y=5$$

 Al hacer girar la elipse alrededor de la linea $$y=5$$ obtenemos una figura parecida a una llanta

Para obtener el volumen usaremos el metodo de las arandelas (anillo)
donde el volumen que buscamos es $$V_{\text{arandela}}=V_{\text{mayor}}-V_{\text{menor}}$$
$$V_{\text{arandela}}= \pi  R^2 dx - \pi  r^2 dx= \pi  \left(R^2-r^2 \right) dx$$
Entonces de nuestra elipse el radio mayor sería la distancia de la mitad de abajo de la elipse al eje de giro y el radio menor la distancia de la mitad superior de la elipse al eje de giro, es decir:
$$R=5+\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}$$
$$r=5-\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}$$
Asi
$$V_{\text{arandela}}= \pi  \left[\left(5+\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\right)^2-\left(5-\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\right)^2\right]dx$$
Desarrollando
$$V_{\text{arandela}}= 20 \pi \sqrt{1-\frac{x^2}{9}}dx$$
Para encontrar todo el volumen tenemos que integrar para $$-3\leq x\leq 3$$, pero como nuestra elipse es simétrica integraremos para $$0\leq x\leq 3$$ y multiplicaremos por 2.

Entonces el volumen de la llanta es $$V=40\int _0^3 \sqrt{1-\frac{x^2}{9}}dx$$
Simplificando la fracción $$V=\frac{40}{3}\int _0^3 \sqrt{9-x^2}dx$$

Usando sustitución trigonométrica
$$x=3\text{Sen}[u]$$
$$dx=-3\text{Sen}[u]du$$
$$\sqrt{9-x^2}=3\text{Cos}[u]$$
Sustituyendo
$$V=120\int _0^3 \text{Cos}^2[u]du$$
Usando una identidad trigonométrica
$$\text{Cos}[2u]=\text{Cos}^2[u]-\text{Sen}^2[u]=\text{Cos}^2[u]-\left(1-\text{Cos}^2[u]\right)=2\text{Cos}^2[u]-1$$
Asi $$\text{Cos}^2[u]=\frac{\text{Cos}[2u]}{2}+\frac{1}{2}$$
$$V=60\int_0^3 \text{Cos}[2u] \, du+60\int _0^3du$$
Integrando
$$V=30\text{Sen}[2u]_{x=0}^3+60[u]_{x=0}^3$$
Como $$\text{Sen}[2u]=2\text{Sen}[u]\text{Cos}[u]$$ y $$u=\text{ArcSen}\left[\frac{x}{3}\right]$$
$$V=20\left[\frac{x\sqrt{9-x^2}}{9}\right]_{x=0}^3+60\left[\text{ArcSen}\left[\frac{x}{3}\right]\right]_{x=0}^3$$
$$V=60\text{ArcSen}[1]$$
Asi el volumen de nuestra llanta es $$V=30\pi $$