Parábola

Sean $$P$$ y $$Q$$ los dos puntos de intersección de una linea paralela a la linea $$y=x$$ con la parábola $$y^2=2x$$, obtener la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento PQ.

 $$y=x+a$$ ...(1)

$$y^2=2x$$ ...(2)

Sustituyendo (1) en (2)

$$(x+a)^2=2x$$

$$\therefore x^2+2(a-1)x+a^2=0$$ ...(3)

Sean $$\left(x_1,y_1\right)$$ y $$\left(x_2,y_2\right)$$ las coordenadas de los puntos $$P$$ y $$Q$$,   x₁ y  x₂ son soluciones reales de (3)

Para tener 2 soluciones reales diferentes entonces el discriminante de (3) debe ser positivo

$$D=4(a-1)^2-4a^2>0$$

$$-8a+4>0$$

$$2a-1<0$$

$$a<\frac{1}{2}$$ ...(4)

Sea $$M(X,Y)$$ el punto medio de PQ,

$$X=\frac{x_1+x_2}{2}$$

Aplicando la Relación Raiz-Coeficiente

• La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x₁ + x₂ = -b/a.
• El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal: x₁ × x₂ = c/a.

 Entonces

$$x_1+x_2$$=-2(a-1)$$

$$ \therefore X=-(a-1)$$ ...(5)

Como el punto M también está en la linea (1)

$$Y=X+a=-a+1+a=1$$

De (4)

$$a<\frac{1}{2}$$

$$a-1<\frac{1}{2}-1$$

$$a-1<-\frac{1}{2}$$

$$-(a-1)>\frac{1}{2}$$

y de (5)

$$X>\frac{1}{2}$$

Por lo tanto la ecuación del lugar geométrico es:

$$Y=1$$, $$\left(X>\frac{1}{2}\right)$$

P.D. Alfredo, puedes pasar a recoger tu galleta