Sean $$P$$ y $$Q$$ los dos puntos de intersección de una linea paralela a la linea $$y=x$$ con la parábola $$y^2=2x$$, obtener la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento PQ.
$$y=x+a$$ ...(1) $$y^2=2x$$ ...(2) Sustituyendo (1) en (2) $$(x+a)^2=2x$$ $$\therefore x^2+2(a-1)x+a^2=0$$ ...(3) Sean $$\left(x_1,y_1\right)$$ y $$\left(x_2,y_2\right)$$ las coordenadas de los puntos $$P$$ y $$Q$$, x1 y x2 son soluciones reales de (3) Para tener 2 soluciones reales diferentes entonces el discriminante de (3) debe ser positivo $$D=4(a-1)^2-4a^2>0$$ $$-8a+4>0$$ $$2a-1<0$$ $$a<\frac{1}{2}$$ ...(4) Sea $$M(X,Y)$$ el punto medio de PQ, $$X=\frac{x_1+x_2}{2}$$ Aplicando la Relación Raiz-Coeficiente
- La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x1 + x2 = -b/a.
- El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal: x1 × x2 = c/a.
Entonces $$x_1+x_2$$=-2(a-1)$$ $$ \therefore X=-(a-1)$$ ...(5) Como el punto M también está en la linea (1) $$Y=X+a=-a+1+a=1$$ De (4) $$a<\frac{1}{2}$$ $$a-1<\frac{1}{2}-1$$ $$a-1<-\frac{1}{2}$$ $$-(a-1)>\frac{1}{2}$$ y de (5) $$X>\frac{1}{2}$$ Por lo tanto la ecuación del lugar geométrico es: $$Y=1$$, $$\left(X>\frac{1}{2}\right)$$
P.D. Alfredo, puedes pasar a recoger tu galleta |
Linea recta en y=1
ResponderEliminarPD: soy alfredo
PD2: quiero una galleta como premio
bueno de x/2 a + infinito
ResponderEliminarPD: sigo siendo alfredo
PD2: ahora son 2 galletas
Corrección de X = 1/2 hasta +inf
ResponderEliminarPD: 3 galletas