domingo, 16 de mayo de 2010

Círculos

Para que olviden el calor acompañado por las lluvias de esta ciudad pueden pasar el tiempo resolviendo un nuevo problema de círculos

Dado el círculo $$x^2+y^2-5=0$$ y la linea $$3x-y+1=0$$

Obtener las ecuaciones de los círculos que pasan
  1. Por el origen y los puntos de intersección del círculo dado y la linea
  2. Por el punto (1,0) y los puntos de intersección del círculo dado y la linea
 Empezamos dibujando el círculo y la linea que da el problema
Ahora buscaremos los puntos de intersección

De las ecuaciones que nos dan
$$x^2+y^2-5=0$$ ...1
$$3x-y+1=0$$ ...2
Despejando $$y$$ de la segunda ecuación. $$y=3x+1$$ ...3
Sustituyendo 3 en 1
$$x^2+(3x+1)^2-5=0$$
Desarrollando
$$10x^2+6x-4=0$$
Dividiendo entre 2
$$5x^2+3x-2=0$$
Factorizando
$$(x+1)(5x-2)=0$$ ...4
De 4 se tiene que $$x=-1, \frac{2}{5}$$ ...5
Sustituyendo 5 en 3
$$y=3(-1)+1=-2$$, $$y=3\left(\frac{2}{5}\right)+1=\frac{11}{5}$$ ...6
De 5 y 6, los puntos de intersección son $$(-1,-2),\left(\frac{2}{5},\frac{11}{5}\right)$$ ...7
Ya que tenemos los 2 puntos de intersección empezaremos a buscar las ecuaciones de los círculos.
Existen 2 formas diferentes de hallarlas:
  1. Usando la fórmula para un círculo con centro en (a,b) y radio r, $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ ...8 y encontrar $$a$$, $$b$$ y $$r$$
  2. Usando la fórmula general de un círculo $$x^2+y^2+\text{Ax}+\text{By}+C=0$$ ...9 y encontrar $$A$$, $$B$$ y $$C$$
Encontraré el primer círculo mediante el primer método y el segundo círculo mediante el segundo método (pueden intentar hacerlo por el otro camino para ver que llegan a lo mismo)
Entonces buscamos un círculo que pase por el origen y los puntos de intersección del círculo dado y la linea
Sustituyendo los puntos $$(0,0),(-1,-2),\left(\frac{2}{5},\frac{11}{5}\right)$$ en la ecuación 8 tenemos un sistema de ecuaciones
$$a^2+b^2=r^2$$ ... 10
$$(-1-a)^2+(-2-b)^2=r^2$$ ...11
$$\left(\frac{2}{5}-a\right)^2+\left(\frac{11}{5}-b\right)^2== r^2$$ ...12
Desarrollando 11 e igualando con 10

$$a^2+b^2=5+2 a+a^2+4 b+b^2$$
Simplificando
$$2 a+4 b=-5$$ ...13
Haciendo lo mismo con 12 y 10
$$4 a+22 b=25$$ ...14
Multiplicando 13 por 2
$$4a+8b=-10$$ ...15
Restando 15 a 14
$$14b=35$$
$$b=\frac{5}{2}$$ ...16
Sustituyendo 16 en 13
$$2a+10=-5$$
$$2a=-15$$
$$a= - \frac{15}{2}$$ ... 17
Sustituyendo 16 y 17 en 10
$$\left(-\frac{15}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2=r^2$$
$$\frac{125}{2}=r^2$$ ...18
De 16, 17 y 18
La ecuación del círculo que buscamos es $$\left(x+\frac{15}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2}$$ (con el otro método se obtiene la ecuación $$x^2+y^2+15x-5y=0$$)

Aqui buscamos un círculo que pase por el punto (1,0) y los puntos de intersección del círculo dado y la linea
Sustituyendo los puntos $$(1,0),(-1,-2),\left(\frac{2}{5},\frac{11}{5}\right)$$ en la ecuación 9 tenemos un sistema de ecuaciones
$$5-A-2B+C=0$$ ...19
$$5+\frac{2}{5}A+\frac{11}{5}B+C=0$$ ...20
$$1+A+C=0$$ ...21
Resolviendo el sistema
$$A=3$$, $$B=-1$$, $$C=-4$$ ...22
Así la ecuación del círculo que buscamos es
$$x^2+y^2+3x-y-4=0$$ (del otro método se obtiene $$\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{13}{2}$$)

1 comentario:

  1. bu! por qué ere tan específico, no puedo dejarte sólo la imagen?

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Comentarios (Puedes poner codigo LaTex)