martes, 4 de mayo de 2010

Teorema de Seno (Parte 2)

Usando los teoremas del artículo anterior probaremos que $$\frac{a}{\text{Sen} A}=2R$$ donde R es el radio del círculo circunscrito al $$\text{$\triangle $ABC}$$
Se presentan 3 posibles casos:
I Cuando $$A<90{}^{\circ}$$
Dejando que el diámetro que contiene al punto B sea BD, $$\text{$\angle $BCD}=90{}^{\circ}$$.
Asi, en $$\text{$\triangle $ABC}$$
$$\text{Sen} D=\frac{\text{BC}}{2R} $$
$$\therefore \frac{a}{\text{Sin} A}=2R$$
Ya qué $$\text{$\angle $A}=\text{$\angle $D}$$ por ser ángulos inscritos que abren el mismo arco


II Cuando $$A=90{}^{\circ}$$
$$\text{Sen} A=\text{Sen} 90{}^{\circ}=1$$
También el diámetro, $$a=2R$$
 $$\therefore \frac{a}{\text{Sin} A}=2R$$
 III Cuando $$A>90{}^{\circ}$$
Sea el diametro que contiene el punto B BD.
$$\text{$\angle $BDC}=180{}^{\circ}-\text{$\angle $BAC}$$
porque los ángulos opuestos de un cuadrilatero inscrito en un círculo suman 180°
$$\text{Sen} \text{$\angle $BDC}=\frac{a}{2R}$$
Sustituyendo
$$\text{Sen} (180{}^{\circ}-\text{$\angle $BAC})=\frac{a}{2R}$$
Como $$\text{Sen}(180{}^{\circ}-\theta )=\text{Sen}(\theta )$$
entonces $$\text{Sen} \text{$\angle $BAC}=\frac{a}{2R}$$
$$\therefore (a/(Sin A)) = 2 R$$

Así analogamente se tiene que
$$\frac{a}{\text{Sin} A}=\frac{b}{\text{Sin} B}=\frac{c}{\text{Sin} C}=2R$$
Este es el famoso teorema de Seno

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