Volumen

NUEVO PROBLEMA!!!
Para todos los seguidores fieles del blog (una gran cantidad) que pensaron que ya lo había olvidado les traigo un nuevo problema

Determina el volumen generado cuando la elipse $$\frac{x^2}{9}+y^2=1$$ es rotada alrededor de la linea $$y=5$$

Círculos

Para que olviden el calor acompañado por las lluvias de esta ciudad pueden pasar el tiempo resolviendo un nuevo problema de círculos

Dado el círculo $$x^2+y^2-5=0$$ y la linea $$3x-y+1=0$$

Obtener las ecuaciones de los círculos que pasan

1. Por el origen y los puntos de intersección del círculo dado y la linea
2. Por el punto (1,0) y los puntos de intersección del círculo dado y la linea

 Empezamos dibujando el círculo y la linea que da el problema

Teorema de Seno (Parte 2)

Usando los teoremas del artículo anterior probaremos que $$\frac{a}{\text{Sen} A}=2R$$ donde R es el radio del círculo circunscrito al $$\text{$\triangle $ABC}$$
Se presentan 3 posibles casos:
I Cuando $$A<90{}^{\circ}$$

Dejando que el diámetro que contiene al punto B sea BD, $$\text{$\angle $BCD}=90{}^{\circ}$$.
Asi, en $$\text{$\triangle $ABC}$$
$$\text{Sen} D=\frac{\text{BC}}{2R} $$
$$\therefore \frac{a}{\text{Sin} A}=2R$$
Ya qué $$\text{$\angle $A}=\text{$\angle $D}$$ por ser ángulos inscritos que abren el mismo arco

II Cuando $$A=90{}^{\circ}$$
$$\text{Sen} A=\text{Sen} 90{}^{\circ}=1$$
También el diámetro, $$a=2R$$
 $$\therefore \frac{a}{\text{Sin} A}=2R$$

 III Cuando $$A>90{}^{\circ}$$
Sea el diametro que contiene el punto B BD.
$$\text{$\angle $BDC}=180{}^{\circ}-\text{$\angle $BAC}$$
porque los ángulos opuestos de un cuadrilatero inscrito en un círculo suman 180°
$$\text{Sen} \text{$\angle $BDC}=\frac{a}{2R}$$
Sustituyendo
$$\text{Sen} (180{}^{\circ}-\text{$\angle $BAC})=\frac{a}{2R}$$
Como $$\text{Sen}(180{}^{\circ}-\theta )=\text{Sen}(\theta )$$
entonces $$\text{Sen} \text{$\angle $BAC}=\frac{a}{2R}$$
$$\therefore (a/(Sin A)) = 2 R$$

Así analogamente se tiene que
$$\frac{a}{\text{Sin} A}=\frac{b}{\text{Sin} B}=\frac{c}{\text{Sin} C}=2R$$
Este es el famoso teorema de Seno

Teorema de Seno (Parte 1)

Demostraré el teorema de seno, pero primero escribiré  algunos teoremas necesarios para el resultado (sin demostrar, se pueden deducir facilmente. Pueden leer más en los links que dejo al final )

 

I
Dados los puntos P1,  P2, P3,... en una circunferencia, todos están del mismo lado de la cuerda AB, $$\text{$\angle $AP}_1B, \text{$\angle $AP}_2B, \text{$\angle $AP}_3B,...$$ son todos iguales

 II.
a)Para los ángulos inscritos del mismo lado que el centro con respecto de la cuerda AB, $$\text{$\angle $APB}<90{}^{\circ}$$

$$\text{$\angle $APB}=\frac{1}{2}\times \text{$\angle $AOB}$$

b) Para los ángulos inscritos donde la cuerda AB pasa a través del centro,
$$\text{$\angle $APB}=90{}^{\circ}$$

c) Para ángulos inscritos de lados diferentes con el centro respecto de la cuerda AB,
 $$\text{$\angle $APB}>90{}^{\circ}$$

 III
La suma de los ángulos opuestos en un cuadrilátero inscrito dentro de un círculo es 180°, es decir,
 $$\text{$\angle $A}+\text{$\angle $C}=180{}^{\circ}$$
$$\text{$\angle $B}+\text{$\angle $D}=180{}^{\circ} $$







Enlaces Externos
Teorema I
Teorema II
Teorema III

Geometría y experiencia "Albert Einstein"

Un genio sin duda en todo el sentido de la palabra. Un físico que cambió el mundo de una manera extraordinaria. Famoso por su teoría de la relatividad. Y como muchas personas saben (o tal vez no) fué también un aguerrido partidario de la paz y la libertad.
El 27 de Enero de 1921 Einstein pronunciaría un discurso en una sesión pública de la Academia Prusiana. "Geometría y experiencia" que realmente me ha interesado.

GEOMETRÍA Y EXPERIENCIA

Las matemáticas gozan de un prestigio propio frente a las demás ciencias. El motivo es que sus proposiciones son absolutamente ciertas e indiscutibles, miestras que todas las demás proposiciones de las demás ciencias son discutibles hasta cierto punto, y corren siempre el peligro de quedar inválidas por nuevos descubrimientos. A pesar de ello, el investigador de otra área no necesitaría envidiar la suerte del matemático, cuyas proposiciones no se refieren a hechos de la realidad sino que sólo de nuestra imaginación. No debe sorprender que se llegue a conclusiones lógicas congruentes si no uno se ha puesto de acuerdo en los axiomas fundamentales, así como el método a seguir. De este método y de los axiomas fundamentales deberán deducirse todas las proposiciones. Por otra parte, este gran prestigio de las matemáticas descansa en el grado de la seguridad que confieren a las ciencias de la naturaleza, grado que éstas no podrían alcanzar sin su ayuda.

Llegados a este punto, surge el problema que tanto ha preocupado a los científicos de todos los tiempos ¿Cómo es posible que las matemáticas encajen con tanta perfección en los hechos de la realidad, siendo un producto del pensamiento humano independiente de toda experiencia? ¿Acaso el intelecto humano puede profundizar, a través del pensamiento puro, en las propiedades de los objetos reales sin la ayuda de la experiencia?

Según mi opinión, esa pregunta puede responderse como sigue: cuando las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no hacen referencia a la realidad. Creo que este estado de cosas de me ha aclarado por completo gracias a esa parte de las matemáticas conocida como axiomática. El avance logrado por la exiomática consiste precisamente en que a través de ella se trazó una frontera nítida entre lo lógico-formal constituye, con arreglo a la axiomática, el objetivo de las matemáticas. No así la intuición ni cualquier otro tema vinculado a lo lógico-formal...

Albert Einstein 27 de Enero de 1921

¿No están de acuerdo?